Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙0的切线；
（2）如果⊙0的半径为9，sin∠ADE=

7

9

，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：计算题,证明题

分析：（1）连接OD，AB为⊙O的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论．
（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE的长．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；
（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=

AD

AB

=

7

9

，
∵AB=18，
∴AD=14，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=

AE

AD

=

7

9

，
∴AE=

98

9

．

点评：本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，切线的判定，锐角三角函数定义，掌握切线的判定和解直角三角形的方法是解题的关键．