Question

将Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．△ABC沿EF所在直线以每秒1 个单位的速度向右匀速运动，AC边与折线ED-DF的交点为P，如图②．当△ABC的边AB经过点D时，停止运动．已知∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=4，BC=3，EF=6．设运动时间为t（秒）．
（1）当点P在ED边上时，AP的长为

 

（用含t的代数式表示）．
（2）当边AB经过点D时，求t的值．
（3）设△ABC与△DEF的重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系．
（4）在△ABC运动的同时，点Q从△ABC的顶点B出发，沿B-A-B以每秒2个单位的速度匀速运动，当△ABC停止运动时，点Q也随之停止．
①当PQ⊥AB时，求t的值．
②当以A、P、Q为顶点的四边形APGQ为菱形时，直接写出菱形APGQ的周长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）判断出△PCE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PC=EC，然后根据AP=AC-PC解答；
（2）过点D作DM⊥EF于M，根据等腰直角三角形的性质求出ME=3，再表示出BM，然后根据△DBM和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解得到t=

15

4

；
（3）分①0≤t≤3时，重叠部分为△PCE，然后根据三角形的面积公式列式整理即可；②3＜t≤

15

4

时，设AB、DE相交于点G，过点G作GH⊥EF于H，表示出BE，再利用∠ABC的正切用GH表示出BH，然后根据EB+BH=GH整理得到GH的表达式，再表示出PC、CF，然后根据重叠部分的面积=S_△DEF-S_△BEG-S_△PCF列式整理即可得解；
（4）①根据两组角对应相等的两个三角形相似判断出△AQP∽△ACB，再根据相似三角形对应边成比例分点P在DE上，点Q从B到A和从A到B两种情况列式求即可，点P在DF上，表示出AP，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
②根据①三种情况，利用菱形的邻边相等列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PC=EC=t，
∴AP=AC-PC=4-t；
故答案为：4-t．

（2）如图，过点D作DM⊥EF于点M，
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EF=6，
∴DM=EM=MF=3，
∵EC=t，
∴EB=t-3，
∴BM=3-（t-3）=6-t，
∵∠ACB=90°，DM⊥EF，
∴DM∥AC，
∴△DBM∽△ABC，
∴

DM

AC

=

BM

BC

，
即

3

4

=

6-t

3

，
解得t=

15

4

；

（3）由（2）知，当t=3时AB经过点D，
所以，当0≤t≤3时，重叠部分为△PCE，S=

1

2

PC•EC=

1

2

t²，
当3≤t≤

15

4

时，设AB、DE相交于点G，过点G作GH⊥EF于H，
则BE=t-3，
∵tan∠ABC=

GH

BH

=

AC

BC

，
∴

GH

BH

=

4

3

，
∴BH=

3

4

GH，
∵∠DEF=45°，
∴EH=GH，
即t-3+

3

4

GH=GH，
∴GH=4t-12，
又∵PC=CF=6-t，
∴重叠部分的面积=S_△DEF-S_△BEG-S_△PCF，
=

1

2

×6×3-

1

2

×（t-3）×（4t-12）-

1

2

×（6-t）（6-t），
=9-2t²+12t-18-

1

2

t²+6t-18，
=-

5

2

t²+18t-27；

（4）①当PQ⊥AB时，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AQP=90°，
∴△AQP∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∵点Q以每秒2个单位的速度匀速运动，
∴点P在DE上时，若点Q从B到A，则AQ=5-2t，若点Q从A到B，则AQ=2t-5，
∴

5-2t

4

=

4-t

5

或

2t-5

4

=

4-t

5

，
解得t=

3

2

，t=

41

14

，
点P在DF上时，PC=CF=6-t，
AP=4-（6-t）=t-2，
∴

2t-5

4

=

t-2

5

，
解得t=

17

6

，
∵

17

6

＜3，
∴t=

17

6

时，点P在DE上，不在DF上，不符合题意，故舍去，
综上所述，PQ⊥AB时，t的值为

3

2

或

41

14

秒；
②若四边形APGQ为菱形，则AQ=AP，
∴5-2t=4-t或2t-5=4-t或2t-5=t-2，
解得t=1或t=3，
当t=1时，AP=4-1=3，
菱形的周长=4×3=12，
当t=3时，AP=4-3=1，
菱形的周长=4×1=4，
所以，菱形的周长为12或4．

点评：本题是相似形综合题，主要利用了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，菱形的性质，难点在于（3）（4）两个小题要分情况讨论，作出图形更形象直观．