Question

13．【阅读理解】
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是（A，B）的优点．
例如，如图①，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的优点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的优点，但点D是（B，A）的优点．
【知识运用】
如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．
（1）数2或10所表示的点是（M，N）的优点；
（2）如图③，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点？

Answer 1

分析 （1）设所求数为x，根据优点的定义分优点在M、N之间和优点在点N右边，列出方程解方程即可；
（2）根据优点的定义可知分两种情况：①P为（A，B）的优点；②P为（B，A）的优点；③B为（A，P）的优点．设点P表示的数为x，根据优点的定义列出方程，进而得出t的值．

解答 解：（1）设所求数为x，
当优点在M、N之间时，由题意得x-（-2）=2（4-x），解得x=2；
当优点在点N右边时，由题意得x-（-2）=2（x-4），解得：x=10；
故答案为：2或10；

（2）设点P表示的数为x，则PA=x+20，PB=40-x，AB=40-（-20）=60，
分三种情况：
①P为（A，B）的优点．
由题意，得PA=2PB，即x-（-20）=2（40-x），
解得x=20，
∴t=（40-20）÷4=5（秒）；
②P为（B，A）的优点．
由题意，得PB=2PA，即40-x=2（x+20），
解得x=0，
∴t=（40-0）÷4=10（秒）；
③B为（A，P）的优点．
由题意，得AB=2PA，即60=2（x+20）
解得x=10，
此时，点P为AB的中点，即A也为（B，P）的优点，
∴t=30÷4=7.5（秒）；
综上可知，当t为5秒、10秒或7.5秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．

点评 本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解优点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．