题目内容
15．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y1=x+k的图象交于A（0，1）、B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点．（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）把（1）中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到新的二次函数${y_2}=a{x^2}+bx+c\;+m（a≠0，m为常数）$的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值；如果y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．
分析 （1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x-1）2，把点A（0，1）代入，利用待定系数法即可求得；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象平移得到新的二次函数y2=ax2+bx+c+m（a≠0，m为常数）的图象的过程中，与x轴的交点由两点变为三点，由三点变为两点，从而求得m的取值范围．
解答 
解：（1）∵C（1，0）为二次函数图象的顶点，
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2，
由抛物线过点A（0，1），可得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x+1；
（2）如图所示：当抛物线的顶点在x轴上时，即m=0时，新函数f的图象与x轴有两个个交点，
当抛物线与直线交于（-1，0）时，
0=（-1）2-2×（-1）+1+m，解得m=-4，
即m=-4时新函数f的图象与x轴有两个交点，
故当新函数f的图象与x轴有三个交点时，m的取值范围为-4＜m＜0．
点评 本题考查了直线与抛物线解析式的求法、二次函数的图象、抛物线和x轴的交点以及抛物线的相关性质的运用．关键是熟练掌握抛物线顶点式与交点式与性质之间的联系．
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