Question

1．如图，点A在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）第一象限分支上，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，已知点C坐标为（-3，7），则k的值为21．

Answer 1

分析 连接OC，分别过A，C作AD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，由正比例函数和反比例函数的对称性可得知点O为线段AB的中点，再由等腰直角三角形的性质可得出OC=OA，从而可得出△AOD≌△COE，根据全等三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求出k值．

解答 解：连接OC，分别过A，C作AD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵线段AB过原点O，且反比例函数图象关于原点对称，
∴点O为线段AB的中点．
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，OC=OA．
∵∠AOD+∠AOE=90°，∠COE+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
在△AOD和△COE中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠COE}\\{∠ADO=∠CEO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE．
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴有$\frac{1}{2}$×3×7=$\frac{1}{2}$|k|，
解得：k=±21．
∴点C在第一象限，
∴k=21．
故答案为：21．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是得出$\frac{1}{2}$×3×7=$\frac{1}{2}$|k|．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形面积间的关系结合反比例函数系数k的几何意义得出关于k的方程是关键．