Question

10．如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12，BC=5，等腰Rt△DEF的顶点D、E分别在边AC、AB上，且ED⊥AC于点D，连接AF并延长交BC于点G．已知DE=EF=2，则BG的长为（　　）

• A． $\frac{25}{17}$
• B． $\frac{30}{17}$
• C． $\frac{17}{12}$
• D． $\frac{19}{12}$

Answer 1

分析 先证明△EDA∽△BCA，得$\frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，求AD=$\frac{24}{5}$，再证明△EFD∽△DAO，得$\frac{EF}{AD}=\frac{EO}{OD}$=$\frac{2}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5}{12}$，设EO=5x，OD=12x，由DE=2列式得x的值，求出OE的长，最后利用$\frac{EO}{BG}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$，求BG的长即可．

解答 解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△EDA∽△BCA，
∴$\frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵BC=5，AC=12，
∴AB=13，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴∠FED=90°，EF=ED=2，
∴$\frac{2}{5}=\frac{AD}{12}=\frac{AE}{AB}$，
∴AD=$\frac{24}{5}$，
∵∠FED=∠EDA=90°，
∴EF∥AD，
∴△EFD∽△DAO，
∴$\frac{EF}{AD}=\frac{EO}{OD}$=$\frac{2}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5}{12}$，
设EO=5x，OD=12x，
∴5x+12x=2，
x=$\frac{2}{17}$，
∴EO=5x=$\frac{10}{17}$，
∵EO∥BG，
∴$\frac{EO}{BG}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{\frac{10}{17}}{BG}=\frac{2}{5}$，
∴BG=$\frac{25}{17}$，
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行相似的判定方法，根据相似三角形对应边成比例列等式求线段的长，从而使问题得以解决．