Question

8．矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，4）．将矩形OABC沿某直线1对折，使点B落在坐标轴上的点F处，且BF与1的交点Q恰好落在过点B的抛物线y=x²+mx+14上，则点F的坐标为（1，0）或（3，0）或（0，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 本题要分两种情况进行讨论：
①当F在x轴上时，过Q作x轴的垂线，那么不难得出Q点的纵坐标为AB的一半即为2，然后将其代入抛物线的解析式中即可求出Q点的坐标，然后根据三角形的中位线定理即可求得AM，进而求得AF，即可求得F的坐标．
②当F在y轴上时，过Q作x轴的垂线，那么不难得出Q点的横坐标为OA的一半即为2.5，然后将其代入抛物线的解析式中即可求出Q点的坐标，然后根据梯形的中位线定理即可求得OF，即可求得F的坐标．

解答 解：∵点B的抛物线y=x²+mx+14上，点B的坐标为（5，4）．
∴4=25+5m+14，
解得m=-7，
∴抛物线的解析式为y=x²-7x+14，
①当点F在x轴上时，过Q作QM⊥x轴于M，
由题意可知QM=$\frac{1}{2}$AB=2，则Q点的纵坐标为2，
代入y=x²-7x+14得，x²-7x+14=2，
∴x=3或x=4
∴Q点的坐标为（3，2）或（4，2），
当Q点坐标为（3，2）时，如图1，OM=3，MA=2，FA=4，
∴F（1，0）；
当Q点坐标为（4，2）时，如图1，OM=4，MA=1，FA=2，
∴F（3，0）；
②当点F在y轴上时，由题意可知OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，则Q点的横坐标为$\frac{5}{2}$，
代入y=x²-7x+14得，y=$\frac{25}{4}$-$\frac{35}{2}$+14=$\frac{11}{4}$，
∴Q点的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$），
∴QM=$\frac{11}{4}$，
∵QM=$\frac{1}{2}$（OF+AB），
∴OF=2QM-AB=2×$\frac{11}{4}$-4=$\frac{3}{2}$，
∴F（0，$\frac{3}{2}$）；
综上，点F的坐标为（1，0）或（3，0）或（0，$\frac{3}{2}$）；
故答案为（1，0）或（3，0）或（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题着重考查了矩形的性质、图形翻折变换、中位线定理以及一次函数和二次函数的相关知识等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．