(1)如图.等边三角形的边长为1.则它的面积是:$\frac{\sqrt{3}}{4}$,(2)如图.△ABC周长为8.面积为4.求△ABC的内切圆(内切圆值三角形中与三边都相切的圆)的半径,(3)根据上述两个小题的启示.如图.点D.E.F分别在等边△ABC的三边上.且△DEF也是等边三角形.△ABC的边长为a.△DEF的边长为b.用含有a.b的代数式表示� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．（1）如图，等边三角形的边长为1，则它的面积是：$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）如图，△ABC周长为8，面积为4，求△ABC的内切圆（内切圆值三角形中与三边都相切的圆）的半径；
（3）根据上述两个小题的启示，如图，点D、E、F分别在等边△ABC的三边上，且△DEF也是等边三角形，△ABC的边长为a，△DEF的边长为b，用含有a、b的代数式表示△ADF的内切圆的半径；并写出必要的计算过程．

分析（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．利用特殊锐角三角函数值可求得BD=$\frac{1}{2}$，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最后依据三角形的面积公式计算即可；
（2）利用面积法得到三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）r，然后可求得r的值．
（3）先证明△ADF≌△BED≌△CFE，从而得到△ADF的周长=a+b，由（1）可知：三角形ADF的面积$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{8}（{a}^{2}-{b}^{2}）$，然后利用（2）的结论求解即可．

解答解：（1）如图1所示：过点A作AD⊥BC，垂足为D．

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）如图2所示：连接圆心O与切点D．

∵BC是圆O的切线，
∴DO⊥BC．
∴△BCO的面积=$\frac{1}{2}CB•r$．
同理：△BAO的面积=$\frac{1}{2}$AB•r、△ACO的面积=$\frac{1}{2}AC•r$．
∴三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）r．
∴r=$\frac{4}{\frac{1}{2}×8}$=1．
（3）∵△ABC与△DEF是等边三角形，
∴∠B=∠A=60°DE=EF，∠DEF=60°．
∵∠B+∠BDE=∠EDF+FEC，
∴∠BDE=∠FEC．
在△BED和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BDE=∠FEC}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFE．
∴同理；△BED≌△CFE≌△ADF．
∴AD=FC．
∴AD+AF=AF+FC=a．
∴AD+AF+DF=a+b．
由（1）可知S_△ACB=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，S_△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²．
∴S_△ADF=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（a²-b²）．
由（2）可知：r=$\frac{\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（{a}^{2}-{b}^{2}）}{\frac{1}{2}×（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（a-b）．