Question

15．如图，等边三角形ABC内接于半径为1的⊙O，以BC为一边作⊙O的内接矩形BCDE，则矩形BCDE的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接BD，由等边三角形的性质和圆周角定理得出∠BDC=∠BAC=60°，由矩形的性质和圆周角定理证出BD是⊙O的直径，得出BD=2，CD=$\frac{1}{2}$BD=1，由勾股定理得出=$\sqrt{3}$，即可求出矩形BCDE的面积．

解答 解：连接BD，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BDC=∠BAC=60°，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直径，∠CBD=90°-60°=30°，
∴BD=2，CD=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正多边形和圆、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质，由圆周角定理证出BD是直径是解决问题的关键．