Question

已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D，点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：根据菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定．先证四边形ACEF为平行四边形，再证CE=AC即可．

解答：证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，
∴DE⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵D为BC中点，DF∥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E为AB边的中点，
∴CE=AE=BE，
∵∠BAC=60°，
∴△ACE为正三角形，
∵∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°，而AF=CE，又CE=AE，
∴AE=AF，
∴△AEF也为正三角形，
∴∠CAE=∠AEF=60°，
∴AC平行且等于EF，
∴四边形ACEF为平行四边形，
又∵CE=AC，
∴?ACEF为菱形．

点评：考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．