Question

如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．

（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；

（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，

∴点E的坐标为（2，1），

代入反比例函数解析式得，=1，

解得k=2，

∴反比例函数解析式为y=，

∵点D在边BC上，

∴点D的纵坐标为2，

∴y=2时，=2，

解得x=1，

∴点D的坐标为（1，2）；

（2）如图，设直线与x轴的交点为F，

矩形OABC的面积=4×2=8，

∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，

∴梯形OFDC的面积为×8=3，

或×8=5，

∵点D的坐标为（1，2），

∴若（1+OF）×2=3，

解得OF=2，

此时点F的坐标为（2，0），

若（1+OF）×2=5，

解得OF=4，

此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，

当D（1，2），F（2，0）时，，

解得，

此时，直线解析式为y=﹣2x+4，

当D（1，2），F（4，0）时，，

解得，

此时，直线解析式为y=﹣x+，

综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．