Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，⊙O分别交AC、BC于点E、D，连结ED、BE．
（1）求证：△CDE∽△CAB；
（2）求证：DE=BD；
（3）若BC=6，AB=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠A，根据相似三角形 的判断定理证明；
（2）根据圆周角定理、等腰三角形的三线合一解答；
（3）根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式列出算式，计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形AEDB是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE=∠A，又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB；
（2）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，又AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠DBE=∠CAD，∠DEB=∠BAD，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（3）解：由（2）得，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×AC×BE，即6×4=5×BE，
解得，BE=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、圆周角定理是解题的关键．