Question

18．等腰梯形的一条对角线平分一锐角，若此梯形的周长为5，下底长为2，则此梯形的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由AD∥BC，推得∠ADB=∠CBD，进而推出∠ADB=∠ABD，根据等角对等边推出AD=AB=AC，根据已知可推出AD=AB=AC=1，过D作DE∥AB，DF⊥BC，可得到DE=AB=1=AD=BE=CE，根据直角三角形的判定可得BD⊥CD，由勾股定理求得BD=$\sqrt{3}$，由面积公式可求得DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据梯形的面积公式可求得结论．

解答 解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=AC，∵形的周长为5，BD=2，∴AD=AB=AC=1，
过D作DE∥AB，DF⊥BC，则四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB=1=AD=BE=CE，∴BD⊥CD，
由勾股定理求得BD=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$BD•DC=S_△BCD，
∴2DF=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$（1+2）$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的判定，梯形的性质和面积，熟练掌握梯形的性质，能正确做出辅助线是解决问题的关键．