Question

12．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于A（1，3）、B（n，-1）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的取值范围．
（3）求三角形AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由A与B的横坐标，以及0，将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）设一次函数与x轴交于C点，求出C坐标，确定出OC的长，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可．

解答 解：（1）将A（1，3）代入反比例解析式得：m=3，
则反比例解析式为y=$\frac{3}{m}$；
将B（n，-1）代入反比例解析式得：n=-3，即B（-3，-1），
将A与B坐标代入y=kx+b中，得：$\left\{\begin{array}{l}{3=k+b}\\{-1=-3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则一次函数解析式为y=x+2；

（2）由图象得：一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1；

（3）连接OA，OB，设一次函数与x轴交于点C，
对于一次函数y=x+2，令y=0，得到x=-2，即OC=2，
则S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1=4．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．