Question

如下图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP

(1)在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由．

(2)若(1)中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由．

(3)PB与BE有怎样的位置关系，说明理由．

(4)若PA＝1，PB＝2，∠APB＝135°，求AE的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)存在．⊿CPB≌⊿AEB，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∵∠ABE＝∠CBP，BE＝BP∴⊿CPB≌⊿AEB． 　　(2)重合．⊿CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到⊿AEB． 　　(3)PB⊥BE．理由如下：由(1)知：⊿CPB≌⊿AEB，∴∠ABE＝∠CBP∵四边形ACBD是正方形，∴∠ABC＝90°即∠CBP＋∠ABP＝90°，∴∠ABE＋∠ABP＝90°，∴PB⊥BE． 　　(4)连接PE，∵PB＝EB，∴∠BPE＝∠BEP，∵∠PBE＝90°，∴∠BPE＝45°，∵∠APB＝135°，∴∠APE＝∠APB－∠BPE＝90°， 　　在Rt⊿BPE中，， 　　在Rt⊿APE中，