题目内容
如图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，将这个游戏抽象为数学问题如图②，已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环与地面接触点为F，铁环钩与铁环的接触点为A，铁环钩与手的接触点是B，铁环钩AB长75cm，BG表示点B距离地面的高度．
（1）当铁环钩AB与铁环相切时（如图③），切点A离地面的高度AM为5cm，求水平距离FG的长；
（2）当点A与点O同一水平高度时（如图④），铁环容易向前滚动，现将如图③铁环钩的一端从A点提升到与O点同一水平高度的C点，铁环钩的另一端点从点B上升到点D，且水平距离FG保持不变，求BD的长（精确到1cm）．
分析：（1）由矩形的性质可求出OH，再由勾股定理得出AH，则△OHA∽△AIB，得
=
，代数数值即可求得答案；
（2）由四边形OFGP是矩形，得出CP，在Rt△CPD中，由勾股定理得出DP，在Rt△AIB中，再由三角函数的定义得出IB，从而得出BD的长．
| OA |
| OH |
| AB |
| AI |
（2）由四边形OFGP是矩形，得出CP，在Rt△CPD中，由勾股定理得出DP，在Rt△AIB中，再由三角函数的定义得出IB，从而得出BD的长．
解答：解：（1）如图四边形HFGI，HFMA是矩形，
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20，
∴在Rt△OHA中，HA=
=15，
方法一∵AB是圆的切线，∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°，
得∠BAI=∠AOH，又∠OHA=∠AIB=90°，
∴△OHA∽△AIB，得
=
即
=
，得AI=60（2分），
FG=HI=HA+AI=15+60=75（cm）；
方法二：∵AB是圆的切线，∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°，
得∠BAI=∠AOH，∴cos∠BAI=cos∠AOH=
=
=
，
在Rt△ABI中，AI=AB•cos∠BAI=75×
=60，
∴FG=HI=HA+AI=15+60=75（cm）
（2）如图，四边形OFGP是矩形，CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50，
Rt△CPD中，DP=
=
=25
≈55.90；
Rt△AIB中，IB=AB•sin∠BAI=75×
=45，
BG=BI+AM=45+5=50，DG=DP+OF=55.90+25=80.90，
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31（cm）．
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20，
∴在Rt△OHA中，HA=
| OA2-OH2 |
方法一∵AB是圆的切线，∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°，
得∠BAI=∠AOH，又∠OHA=∠AIB=90°，
∴△OHA∽△AIB，得
| OA |
| OH |
| AB |
| AI |
即
| 25 |
| 20 |
| 75 |
| AI |
FG=HI=HA+AI=15+60=75（cm）；
方法二：∵AB是圆的切线，∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°，
得∠BAI=∠AOH，∴cos∠BAI=cos∠AOH=
| OH |
| OA |
| 20 |
| 25 |
| 4 |
| 5 |
在Rt△ABI中，AI=AB•cos∠BAI=75×
| 4 |
| 5 |
∴FG=HI=HA+AI=15+60=75（cm）
（2）如图，四边形OFGP是矩形，CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50，
Rt△CPD中，DP=
| CD2-CP2 |
| 752-502 |
| 5 |
Rt△AIB中，IB=AB•sin∠BAI=75×
| 3 |
| 5 |
BG=BI+AM=45+5=50，DG=DP+OF=55.90+25=80.90，
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31（cm）．
点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用，是中考压轴题，难度偏大．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
米）．
．
．
米）．
．
米）．
．
米）．