Question

18．如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别为AB，AC上的点，BE与CD相交于点F，BF=4EF=4，CE=AD．则S_△AEB=5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质结合CE=AD，即可得出△ACD≌△CBE（SAS），进而得出∠ACD=CBE，结合∠CEF=BEC，可得出△AEF∽△BEC，根据相似三角形的性质结合BF=4EF=4，即可求出CE的长度，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，通过解直角三角形可求出BC的长度，再根据三角形的面积公式即可求出S_△AEB的值，此题得解．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠BCE=60°，AC=CB，
在△ACD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠A=∠BCE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=CBE．
又∵∠CEF=BEC，
∴△AEF∽△BEC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{EC}{EB}$，
∵BF=4EF=4，
∴EC=$\sqrt{5}$．
过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，如图所示．
在Rt△AEM中，CE=$\sqrt{5}$，∠ECM=60°，
∴CM=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
在Rt△BME中，BE=5，EM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴BM=$\sqrt{B{E}^{2}-E{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{2}$．
∴BC=AB=AC=$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{85}}{2}$，AE=AC-CE=$\frac{\sqrt{85}-\sqrt{5}}{2}$，
∴S_△AEB=$\frac{1}{2}$AB•EN=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{85}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{85}-\sqrt{5}}{2}$=5$\sqrt{3}$．
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，利用相似三角形的性质结合解直角三角形，求出AB和AE的长度是解题的关键．