Question

15．如图，△ABC三边分别为a、b、c，且关于x的方程（a+c）x²+2bx+c=a有两个相等的实数根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）CD平分∠ACB，且AD⊥BD，AD、BD为方程x²-2mx+n²=0两根，试确定m与n的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）先求出△的表达式，再由△=0即可得出结论；
（2）过D作CA的垂线DE，作CB的垂线DF，由AAS定理得出△ADE≌△BDF，再由根与系数的关系即可得出结论．

解答 解：（1）∵△=4b²+4（a+c）（a-c）=4（a²+b²-c²），方程有两个相等实根，
∴△=0，
∴a²+b²-c²=0，a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）如图，过D作CA的垂线DE，作CB的垂线DF．
∵CD平分∠ACB，
∴DE=DF．
在△ADE与△BDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠ADE=∠FDB\\∠AED=∠BFD\\ DE=DF\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AD=BD，
∴方程x²-2mx+n²=0有两个相等的实数根，
∴4m²-4n²=0，
∴m²=n²，
又∵AD+BD=2m，
∴m＞0
∴m=|n|．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．