Question

2．如图所示，△ABC中，AB是⊙O的直径，AC和BC分别和⊙O相交于点D和E，在BD上截取BF=AC，延长AE使AG=BC．求证：
（1）CG=CF；
（2）CG⊥CF．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可得∠CAG=∠FBC，根据SAS证明△CAG≌△FBC，再根据全等三角形的性质可证CG=CF；
（2）根据直径所对的圆心角为90°，根据全等三角形的性质和等量关系可知CG⊥CF．

解答 证明：（1）由圆周角定理可得∠CAG=∠FBC，
在△CAG与△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AC}\\{∠CAG=∠FBC}\\{AG=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAG≌△FBC（SAS），
∴CG=CF；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠CEG=∠AEB=90°，
∴∠G+∠GCE=90°，
∵△CAG≌△FBC，
∴∠G=∠BCF，
∴∠BCF+∠GCE=90°，
∴CG⊥CF．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，直径所对的圆心角为90°，关键是证明△CAG≌△FBC．