Question

20．已知：x²-3x+1=0，求x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$的值．

Answer 1

分析 将x²-3x+1=0两边同时除以x后，变形为x+$\frac{1}{x}$=3，再平方；最后利用立方和公式将x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$分解因式，得出结论．

解答 解：x²-3x+1=0，
∵x≠0，两边分别除以x，得：x-3+$\frac{1}{x}$=0，
x+$\frac{1}{x}$=3，
两边同时平方得：（x+$\frac{1}{x}$）²=9，
${x}^{2}+2+\frac{1}{{x}^{2}}$=9，
${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$=7，
∴x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x²-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=3×（7-1）=18．

点评 本题是分式求值问题，考查了完全平方式和立方和公式；熟练掌握完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²；同时也利用了立方和公式进行因式分解，再整体代入．