题目内容
（2012•丹徒区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，AB=2
，点O是AD的中点，点P在DA的延长线上，且AP=3．一动点E从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PD匀速运动；另一动点F从D点出发，以每秒1个单位长度的速度沿DO匀速运动，到达O点后，立即以原速度沿OD返回．已知点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PD的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边EG恰好经过点B时，运动时间t的值为
（2）当等边△EFG的顶点G恰好落在BC上时，运动时间t的值为
（3）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．
| 3 |
（1）当等边△EFG的边EG恰好经过点B时，运动时间t的值为
1s
1s
；（2）当等边△EFG的顶点G恰好落在BC上时，运动时间t的值为
2.5s
2.5s
；（3）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．
分析：（1）当边EG恰好经过点B时，∠DEB=60°，AE=3-t，在Rt△DEB中，解直角三角形可求t的值；
（2）当等边△EFG的顶点G恰好落在BC上时，等边△EFG的高=AB=2
，可求此时等边△EFG的边长，从而可求t的值；
（3）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜2.5，2.5＜t＜3，3≤t＜6，6≤t＜7.5五种情况，分别写出函数关系式．
（2）当等边△EFG的顶点G恰好落在BC上时，等边△EFG的高=AB=2
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（3）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜2.5，2.5＜t＜3，3≤t＜6，6≤t＜7.5五种情况，分别写出函数关系式．
解答：
解：（1）∵△GEF是等边三角形，
∴∠GED=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABE=30°．
∴tan∠ABE=
=
．
设PE=t，则AE=3-t，
∴
=
．
∵AB=2
，
∴
=
，
∴t=1．
故答案为：1s；
（2）如图2，设t秒后等边△EFG的顶点G恰好落在BC上，作GM⊥PD于M，
在Rt△EGM中，由勾股定理得：
EM=2，
∴EF=4，
∴9-2t=4，
∴t=2.5s．
故答案为：2.5．
（3）①当0≤t＜1时，重合部分是直角梯形，如图3，作FH⊥BC与H，
DF=CH=t，则在直角△FQH中，QH=HF•tan30°=2
×
=2，
则BQ=BC-QH-CH=6-2-t=4-t，
∴S=
（BQ+AF）•AB=
（4-t+6-t）•2
=-2
t+10
；
②当1≤t＜2.5时，如图4，同上可得：CN=2+t，
BM=t-2.5，
则MN=6-（2+t）-（t-2.5）=6.5-2t，
EF=6+3-2t=9-2t，AE=3-t，
则S△AEH=
AE•AH=
×（3-t）•
（3-t）2=
（3-t）2；
S△EFG=
（9-2t）2，S△MNG=
（6.5-t）2，
则重合部分的面积是：S=
（9-2t）2-
（6.5-t）2-
（3-t）2；
③当2.5＜t＜3时，如图5，
等边△EFG的边长是9-2t，则面积是：
（9-2t）2，
直角△AEQ中，AE=3-t，则AQ=
（3-t），
因而△AEQ的面积是：
（3-t）2，
则S=
（9-2t）2-
（3-t）2；
④当3≤t＜6时，如图6，重合部分就是△EFG，边长是：3，则S=
×32=
；
⑤当6≤t＜7.5时，如图7，重合部分就是△EFG，边长是：3-2t，
则S=
（3-2t）2．
解：（1）∵△GEF是等边三角形，∴∠GED=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABE=30°．
∴tan∠ABE=
| AE |
| AB |
| ||
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设PE=t，则AE=3-t，
∴
| 3-t |
| AB |
| ||
| 3 |
∵AB=2
| 3 |
∴
| 3-t | ||
2
|
| ||
| 3 |
∴t=1．
故答案为：1s；
（2）如图2，设t秒后等边△EFG的顶点G恰好落在BC上，作GM⊥PD于M，
在Rt△EGM中，由勾股定理得：
EM=2，
∴EF=4，
∴9-2t=4，
∴t=2.5s．
故答案为：2.5．
（3）①当0≤t＜1时，重合部分是直角梯形，如图3，作FH⊥BC与H，
DF=CH=t，则在直角△FQH中，QH=HF•tan30°=2
| 3 |
| ||
| 3 |
则BQ=BC-QH-CH=6-2-t=4-t，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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②当1≤t＜2.5时，如图4，同上可得：CN=2+t，
BM=t-2.5，
则MN=6-（2+t）-（t-2.5）=6.5-2t，
EF=6+3-2t=9-2t，AE=3-t，
则S△AEH=
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| 1 |
| 2 |
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| ||
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S△EFG=
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则重合部分的面积是：S=
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
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③当2.5＜t＜3时，如图5，
等边△EFG的边长是9-2t，则面积是：
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| 4 |
直角△AEQ中，AE=3-t，则AQ=
| 3 |
因而△AEQ的面积是：
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则S=
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| 4 |
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④当3≤t＜6时，如图6，重合部分就是△EFG，边长是：3，则S=
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⑤当6≤t＜7.5时，如图7，重合部分就是△EFG，边长是：3-2t，
则S=
| ||
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点评：本题是函数与矩形、三角形的面积的计算，正确分情况讨论是解题的关键．
练习册系列答案
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