题目内容
（2012•鞍山一模）如图，点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3
，0），点B在x轴上方且BA⊥x轴，tanB=
，过点C作CD⊥AB于D，点P是线段OA上一动点，PM∥AB交BC于点M，交CD于点Q，以PM为斜边向右作直角三角形PMN，∠MPN=30°，PN、MN的延长线交直线AB于E、F，设PO的长为x，EF的长为y．
（1）求线段PM的长（用x表示）；
（2）求点N落在直线AB上时x的值；
（3）求PE是线段MF的垂直平分线时直线PE的解析式；
（4）求y与x的函数关系式并写出相应的自变量x取值范围．
| 3 |
| 3 |
（1）求线段PM的长（用x表示）；
（2）求点N落在直线AB上时x的值；
（3）求PE是线段MF的垂直平分线时直线PE的解析式；
（4）求y与x的函数关系式并写出相应的自变量x取值范围．
分析：（1）由题意易得四边形OCQP是矩形，则OP=CQ=x，PQ=OC=3，又由平行线分线段成比例定理，可得
=
，则可求得MQ的值，继而求得PM的值；
（2）由∠PNM=90°，∠MPN=30°，可得∠NPA=60°，然后在Rt△NPA中，表示出PN的值，在Rt△PNM中，也可表示出PN，则可得方程2（3
-x）=
（3+
x），解此方程即可求得答案；
（3）首先设点E（3
，m），利用三角函数的知识即可求得点E的坐标为：（3
，9-
x），又由PE是线段MF的垂直平分线，可求得点N的坐标，继而可得方程6-
x=3+
x，解此方程则可求得点P与E的坐标，再利用待定系数法即可求得此直线的解析式；
（4）由△PNM∽△ENF，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得EF：PM=AG：GP，继而可求得y与x的函数关系式，由PN、MN的延长线交直线AB于E、F，可得x的取值范围从0开始，到点N在BD上时结束．
| MQ |
| BD |
| CQ |
| CD |
（2）由∠PNM=90°，∠MPN=30°，可得∠NPA=60°，然后在Rt△NPA中，表示出PN的值，在Rt△PNM中，也可表示出PN，则可得方程2（3
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
（3）首先设点E（3
| 3 |
| 3 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
（4）由△PNM∽△ENF，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得EF：PM=AG：GP，继而可求得y与x的函数关系式，由PN、MN的延长线交直线AB于E、F，可得x的取值范围从0开始，到点N在BD上时结束．
解答：解：（1）∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3
，0），
∴OC=AD=3，OA=CD=3
，
∵CD⊥AB，tanB=
，
∴BD=
=3，
∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x轴，
∴四边形OCQP是矩形，
∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
∴
=
，
即
=
，
∴MQ=
x，
∴PM=PQ+MQ=3+
x；
（2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
∴在Rt△NPA中，cos∠NPA=
=
，
∴PN=2PA=2（3
-x），
在Rt△PNM中，PN=PM•cos∠MPN=PM•cos30°=
PM=
（3+
x），
∴2（3
-x）=
（3+
x），
解得：x=
；
（3）设E（3
，m），
∵∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
在Rt△EPA中，tan∠EPA=
=
=
，
∴m=9-
x，
∴点E的坐标为：（3
，9-
x），
∵PE为MF的垂直平分线，PM∥EF，
∴MN：FN=PN：EN，
∴PN=EN，
∴点N的坐标为：（
，
），
过点N作NG⊥OA于G，
∴PG=
-x=
，
∴PN=2PG=3
-x，
∴PM=
=
=6-
x，
∴6-
x=3+
x，
解得：x=
，
∴点P的坐标为（
，0），点E的坐标为（3
，6），
设直线PE的解析式为：y=kx+b，
∴
，
解得：
，
∴直线PE的解析式为：y=
x-3；
（4）过N作NG⊥x轴于G，
∵PN=PM•cos∠NPM=
PM，
∴NG=PN•sin∠NPM=
PN=
PM，PG=PN•cos∠NPG=
PN=
PM，
∴点N横坐标为
PM+x，点N的纵坐标为
PM，
∵PM∥EF，
∴△PNM∽△ENF，
∴EF：PM=AG：GP，
即
=
，
整理得：y=12-PM-
x=12-（3+
x）-
x=9-
x，
x的取值范围为：（0＜x＜
）．
| 3 |
∴OC=AD=3，OA=CD=3
| 3 |
∵CD⊥AB，tanB=
| 3 |
∴BD=
| CD |
| tanB |
∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x轴，
∴四边形OCQP是矩形，
∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
∴
| MQ |
| BD |
| CQ |
| CD |
即
| MQ |
| 3 |
| x | ||
3
|
∴MQ=
| ||
| 3 |
∴PM=PQ+MQ=3+
| ||
| 3 |
（2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，∴∠NPA=60°，
∴在Rt△NPA中，cos∠NPA=
| PA |
| PN |
| 1 |
| 2 |
∴PN=2PA=2（3
| 3 |
在Rt△PNM中，PN=PM•cos∠MPN=PM•cos30°=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
∴2（3
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
解得：x=
9
| ||
| 5 |
（3）设E（3
| 3 |
∵∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
在Rt△EPA中，tan∠EPA=
| AE |
| PA |
| m | ||
3
|
| 3 |
∴m=9-
| 3 |
∴点E的坐标为：（3
| 3 |
| 3 |
∵PE为MF的垂直平分线，PM∥EF，
∴MN：FN=PN：EN，
∴PN=EN，
∴点N的坐标为：（
3
| ||
| 2 |
9-
| ||
| 2 |
过点N作NG⊥OA于G，
∴PG=
3
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
∴PN=2PG=3
| 3 |
∴PM=
| PN |
| cos∠NPM |
3
| ||||
|
2
| ||
| 3 |
∴6-
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
解得：x=
| 3 |
∴点P的坐标为（
| 3 |
| 3 |
设直线PE的解析式为：y=kx+b，
∴
|
解得：
|
∴直线PE的解析式为：y=
| 3 |
（4）过N作NG⊥x轴于G，
∵PN=PM•cos∠NPM=
| ||
| 2 |
∴NG=PN•sin∠NPM=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
∴点N横坐标为
| ||
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∵PM∥EF，
∴△PNM∽△ENF，
∴EF：PM=AG：GP，
即
| y |
| PM |
3
| ||||||
|
整理得：y=12-PM-
4
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
5
| ||
| 3 |
x的取值范围为：（0＜x＜
9
| ||
| 5 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的知识、矩形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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