题目内容
结论：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=
，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？
请你参考李明同学的思路，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=
，BP=
，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．?
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=
| 3 |
李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？
请你参考李明同学的思路，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=
| 5 |
| 2 |
考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理,勾股定理的逆定理,正方形的性质
专题：
分析：根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=
，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=
，P′M=
，根据勾股定理即可求出答案；
（2）求出∠BEP=
（180°-90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）求出∠BEP=
| 1 |
| 2 |
解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=
，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=
，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′2+PP′2=AP2，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM=
，
由勾股定理得：P′M=
，
∴AM=1+
=
，
由勾股定理得：AB=
=
，
（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=
，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠BEP=
（180°-90°）=45°，
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=
，EP=2，
∴AE2+PE2=AP2，
∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB=45°，
∴FE=BF=1，
∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=
；
∴∠BPC=135°，正方形边长为
．
答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是
．
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=
| 3 |
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=
| 3 |
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′2+PP′2=AP2，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM=
| ||
| 2 |
由勾股定理得：P′M=
| 3 |
| 2 |
∴AM=1+
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
由勾股定理得：AB=
| AM2+BM2 |
| 7 |
（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=
| 2 |
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠BEP=
| 1 |
| 2 |
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=
| 5 |
∴AE2+PE2=AP2，
∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB=45°，
∴FE=BF=1，
∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=
| 5 |
∴∠BPC=135°，正方形边长为
| 5 |
答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是
| 5 |
点评：本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=
如图，矩形ABCD为一本书，AB=12π，AD=2，当把书卷起时大致如图所示的半圆状（每张纸都是以O为圆心的同心圆的弧），如第一张纸AB对应为弧AB，最后一张纸CD对应为弧CD（CD为半圆），
如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，PB=2PA；X，Y，Z三点在BD上，且BX=XY=YZ=ZD，则△PZX的面积为