Question

10．AD，CE为△ABC的角平分线，∠B=90°，OA=3OD，结论：$\frac{4}{3}$AE+CD=AC．

Answer 1

分析 如图，在AC上截取AG=AE，CF=CD，则AF+CF=AC，根据角平分线的性质得到∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ACE=$\frac{1}{2}∠$ACB，求得∠COD=45°，∠AOE=45°，∠AOC=135°，在根据全等三角形的性质得到∠AOG=∠AOE=45°，∠COF=∠COD=45°，OD=OF根据三角形角平分线定理即可得到结论．

解答 证明：如图，在AC上截取AG=AE，CF=CD，则AF+CF=AC，
∵AD，CE为△ABC的角平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ACE=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠CAD+∠ACE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），
∵∠CAD+∠ACE=∠COD，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠COD=45°，
∴∠AOE=45°，∠AOC=135°，
在△AEO与△AGO中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAO=∠GAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AGO≌△AEO，
∴∠AOG=∠AOE=45°，
同理△CDO≌△CFO，
∴∠COF=∠COD=45°，OD=OF，
∵OA=3OD，
∴AO=2OF，
∵∠AOG=∠COF=45°，
∴∠GOF=45°，
∴∠AOG=∠GOF，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AO}{OF}=3$，
∴AF=$\frac{4}{3}$AG=$\frac{4}{3}$AE，
∴$\frac{4}{3}$AE+CD=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形角平分线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．