题目内容

如图，在矩形ABCD中，P是AD上一动点，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．
（1）当AB=AD，P是AD的中点时，求
DE
BE
的值；
（2）若AB=mAD，AD=nAP，试用含m，n代数式表示
DE
BE
．
考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质
专题：
分析：（1）如图，证明△ABP∽△DAG，得到
AB
AD
=
AP
DG
；证明DG=
1
2
AB；证明△DEG∽△BEA，列出比例式
DE
BE
=
DG
AB
=
1
2
．即可解决问题．
（2）类比（1）中的解法，首先证明DG=
AD
mn
；然后证明
DE
BE
=
DG
AB
=
AD
mn
mAD
=
1
m2n
，即可解决问题．
解答：解：（1）如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAP=∠ADG=90°；
∵AG⊥BP，
∴∠BPA+∠APB=∠FAP+∠APB，
∴∠BPA=∠FAP，
∴△ABP∽△DAG，
∴
AB
AD
=
AP
DG

∵AB=AD，AP=
1
2
AD，
∴∴△ABP∽△DAG，
∴
AB
AD
=
AP
DG

∵DG=
1
2
AB；DG∥AB，
∴△DEG∽△BEA，
∴
DE
BE
=
DG
AB
=
1
2
．
（2）类比（1）中的方法，同理可证：
△ABP∽△DAG，
∴
AB
AD
=
AP
DG
，
∵AB=mAD，AD=nAP，
∴DG=
AD
mn
；
类比（1）中的方法，同理可证：△DEG∽△BEA，
∴
DE
BE
=
DG
AB
=
AD
mn
mAD
=
1
m2n
，
即
DE
BE
=
1
m2n
．
点评：该题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是数形结合，准确找出图形中隐含的相等或相似关系，灵活运用矩形的性质、相似三角形的判定及其性质来分析、解答．
练习册系列答案
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．
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3
5
，CD=2
3
-2，AD=4，求AB的长．
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A、60B、61C、62D、63
（-0.5）2=
 
．

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