Question

7．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F．
（1）求证：AE=EP；
（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在AB上取BN=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP，从而得到AE=EP；
（2）先证△DAM≌△ABE，进而可得四边形DMEP是平行四边形．

解答 （1）证明：在AB上截取BN=B，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∴AN=EC，∠1=∠2=45°．
∴∠4=135°．
∵CP为正方形ABCD的外角平分线，
∴∠PCE=135°．
∴∠PCE=∠4．
∵∠AEP=90°，
∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠3=∠BAE．
∴△ANE≌△ECP．
∴AE=EP
（2）解：存在点M使得四边形DMEP是平行四边形．理由如下：
过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连接ME、DP．
∴∠AKD=∠AEP=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠ADM+∠AMD=90°，∠MAK+∠AMD=90°．
∴∠ADM=∠MAK．
∵AD=AB，∠B=∠DAB，
∴△AMD≌△BEA．
∴DM=AE．
∴DM=EP．
∴四边形DMEP为平行四边形．

点评 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，解决问题的关键是要熟练掌握正方形的性质及三角形相似的判定和性质，