Question

12．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y₁=$\frac{m}{x}$的图象经过点A，反比例函数y₂=$\frac{n}{x}$的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（　　）

• A． m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$n
• B． m=-$\sqrt{3}$n
• C． m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$n
• D． m=-3n

Answer 1

分析 过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点B坐标为（a，$\frac{n}{a}$），点A的坐标为（b，$\frac{m}{b}$），证明△BOE∽△OAF，利用对应边成比例可求出m、n的关系．

解答 解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，

∵∠OAB=30°，
∴OA=$\sqrt{3}$OB，
设点B坐标为（a，$\frac{n}{a}$），点A的坐标为（b，$\frac{m}{b}$），
则OE=-a，BE=$\frac{n}{a}$，OF=b，AF=$\frac{m}{b}$，
∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
∴∠OBE=∠AOF，
又∵∠BEO=∠OFA=90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴$\frac{OE}{AF}$=$\frac{BE}{OF}$=$\frac{OB}{OA}$，即$\frac{-a}{\frac{m}{b}}$=$\frac{n}{\frac{a}{b}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得：m=-$\sqrt{3}$ab，n=$\frac{ab}{\sqrt{3}}$，
故可得：m=-3n．
故选D．

点评 本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难度较大．