题目内容
如图，AD是⊙O的直径，AB、AF是弦，BE⊥AD与AF的延长线交于点C．（1）猜想线段AB、AF、AC之间的等量关系，并证明；
（2）若AE•DE=9，求BE的长．
考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）先根据BE⊥AD得出
=
，∠ABG=∠AFB，由此可得出△ABF∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据垂径定理即可得出BE=EG，再由相交弦定理即可得出结论．
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| AB |
|
| AG |
（2）根据垂径定理即可得出BE=EG，再由相交弦定理即可得出结论．
解答：
（1）AB2=AC•AF．
证明：∵BE⊥AD，
∴
=
，
∴∠ABG=∠AFB．
∵∠BAF是公共角，
∴△ABF∽△ACB，
∴
=
，即AB2=AC•AF；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，BE⊥AD，
∴BE=GE．
∵BE•EG=AE•DE=9，
∴BE2=AE•DE=9，解得BE=3．
（1）AB2=AC•AF．证明：∵BE⊥AD，
∴
|
| AB |
|
| AG |
∴∠ABG=∠AFB．
∵∠BAF是公共角，
∴△ABF∽△ACB，
∴
| AB |
| AC |
| AF |
| AB |
（2）解：∵AD是⊙O的直径，BE⊥AD，
∴BE=GE．
∵BE•EG=AE•DE=9，
∴BE2=AE•DE=9，解得BE=3．
点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
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