Question

5．如图，已知平面直角坐标系中有点A（1，1），B（1，5），C（3，1），且双曲线y=$\frac{k}{x}$与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　）

• A． 1≤k≤3
• B． 3≤k≤5
• C． 1≤k≤5
• D． 1≤k≤$\frac{49}{8}$

Answer 1

分析 结合图形可知当双曲线过A点时k有最小值，当直线AB与与双曲线只有一个交点时k有最大值，从而可求得k的取值范围．

解答 解：若双曲线与△ABC有公共点，则双曲线向下最多到点a，向上最多到与直线AB只有一个交点，

当过点A时，把A点坐标代入双曲线解析式可得1=$\frac{k}{1}$，解得k=1；
当双曲线与直线BC只有一个交点时，设直线AB解析式为y=ax+b，
∵B（1，5），C（3，1），
∴把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=5}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-2x+7，
联立直线AB和双曲线解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=-2x+7}\end{array}\right.$，消去y整理可得2x²-7x+k=0，
则该方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-7）²-8k=0，解得k=$\frac{49}{8}$，
∴k的取值范围为：1≤k≤$\frac{49}{8}$．
故选D．

点评 本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个特殊位置时k的值是解题的关键，属于中考常考题型．