Question

19．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴相交于点C，请完成下面的填空：
（1）该抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小，则Q点的坐标为（-1，2）．
（3）在抛物线上的第二象限上存在一点P，使△PBC的面积最大，则点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△PBC的最大面积为$\frac{27}{8}$．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可．
（2）如图1中，连接BC交对称轴于Q，此时AQ+QC最小，即△QAC的周长最小，求出直线BC的解析式即可解决问题．
（3）如图2中，设P（m，-m²-2m+3），作PM∥轴，交BC于M．则M（m，m+3）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
故答案为y=-x²-2x+3．

（2）如图1中，连接BC交对称轴于Q，此时AQ+QC最小，即△QAC的周长最小，

设最小BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
∵抛物线的对称轴x=-1，
∴Q（-1，2）．
故答案为（-1，2）．

（3）如图2中，设P（m，-m²-2m+3），作PM∥轴，交BC于M．则M（m，m+3）．

S_△PBC=$\frac{1}{2}$•PM•3=$\frac{3}{2}$（-m²-2m+3-m-3）=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，△PBC的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$，此时点P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
故答案为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称-最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决实际问题，属于中考压轴题．