Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D，E．求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE=AD+BE．

Answer 1

分析 （1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证出△ADC和△CEB全等即可；
（2）由（1）可推出CD=BE，AD=CE，进而可证明DE=AD+BE．

解答 解：
（1）证明：∵∠ACB=90°，AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）∵△ADC≌△CEB
∴BE=CD，AD=CE，
∵CD+CE=DE，
∴DE=AD+BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．