Question

AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，BC与圆O相交于点D，点E在圆O上，且DE=DA，AE与BC相交于点F，求证：FD=DC．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：根据圆周角定理以及切线的性质定理即可证明∠CAD=∠DAF，然后利用AAS即可证得△ACD≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等即可证得．

解答：证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴∠CAB=90°，即∠ACD+∠BAD=90°，
又∵在直角△ABD中，∠BAD+∠B=90°，
∴∠CAD=∠B，
又∵∠B=∠E，
∴∠ACD=∠E，
∵DE=DA，
∴

DE

=

DA

，
∴∠B=∠DAE，
∴∠CAD=∠DAF，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD=∠DAF ∠ADC=∠ADF AD=AD

，
∴△ACD≌△AFD，
∴FD=DC．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质定理，和全等三角形的判定定理，在本题中证明∠CAD=∠DAF是关键．