Question

14．如图，AB是⊙O的直径，点C为AB上面半圆上一点，点D为AB的下面半圆的中点，连接CD与AB交于点E，延长BA至F，使EF=CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若DE•DC=13，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明CF与⊙O相切，只要证明OC⊥CF即可．
（2）由△BDE∽△CDB，推出$\frac{BD}{CD}$=$\frac{ED}{BD}$，推出BD²=CD•ED=12，由∠BOD=90°，推出OB²+OD²=BD²=12，推出OB²=6，可得OB=$\sqrt{6}$解决问题．

解答 解：（1）连接OC、OD．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥AB，∠AOD=90°，
∵FE=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠ODC，
∴∠FCO=∠FCE+∠OCE=∠FEC+∠EDO=∠OED+∠ODC=90°．
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙⊙O的切线．

（2）连接BC、BD．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∠EBD=∠BCD，
∵∠BDE=∠CDB，
∴△BDE∽△CDB，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{ED}{BD}$，
∴BD²=CD•ED=13，
∵∠BOD=90°，
∴OB²+OD²=BD²=13，
∴OB²=$\frac{13}{2}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{\sqrt{26}}{2}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．