Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（10，8），点A在y轴上，点C在x轴上，E为BC上一点，把△ABE沿ZE折叠，点B落在OC上的D处．
（1）求D点坐标；
（2）以O为圆心，4.8为半径作园，是判断⊙O与直线AD的位置关系；
（3）反比例函数y=

k

x

的图象过点E，交AB于F，求点F的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由折叠可得AD=AB=10，在Rt△AOD中运用勾股定理可求出OD，从而得到点D的坐标；
（2）过点O作OG⊥AD于点G，运用面积法可求出OG，根据OG与r的大小关系可判定⊙O与直线AD的位置关系；
（3）易证△AOD∽△DCE，从而可求出CE长，就可得到点E的坐标，然后用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据点F的纵坐标就可求出点F的坐标．

解答：解：（1）如图1，

∵矩形OABC的顶点B（10，8），
∴AB=OC=10，OA=BC=8．
由折叠可得：AD=AB=10．
∴在Rt△AOD中，OD=

AD2-AO2

=

102-82

=6，
∴点D的坐标为（6，0）；

（2）⊙O与直线AD相切．
理由：过点O作OG⊥AD于点G，如图2，

∵S_△AOD=

1

2

OD•OA=

1

2

AD•OG，
∴OG=

OD•OA

AD

=

6×8

10

=4.8．
∵r=4.8，∴OG=r，
∴⊙O与直线AD相切．

（3）如图3，

∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠BCO=∠B=90°．
由折叠可得：∠ADE=∠B=90°．
∵∠AOC=90°，∠ADE=90°，
∴∠OAD+∠ODA=90°，∠CDE+∠ODA=180°-90°=90°，
∴∠OAD=∠CDE，
∴△AOD∽△DCE，
∴

OA

CD

=

OD

CE

，
∴

8

10-6

=

6

CE

，
解得：CE=3，
∴点E的坐标为（10，3）．
∵反比例函数y=

k

x

的图象过点E，
∴k=10×3=30，
∴反比例函数的解析式为y=

30

x

．
当y=8时，

30

x

=8，
解得：x=

15

4

，
∴点F的坐标为（

15

4

，8）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；第（2）小题除了用等积法求OG外，还可以通过三角形相似来求OG长；第（3）小题除了通过三角形相似来求CE长，还可在Rt△DCE中运用勾股定理来求CE的长．