Question

17．如图，圆O在矩形ABCD内，且与AB，BC边都相切，E是BC上一点，将△DCE延DE翻折，点C的对称点F恰好落在圆O上．已知AB=20，BC=26，CE=10，则圆O的半径为5．

Answer 1

分析 过点F作AD，BC的垂线GH，过O作MN∥BC交AB于M，GH于N，易证△DGF∽△FHE，利用相似三角形的性质即可求出DG=HC=16，GF=12，FH=8，设圆O的半径为r，在直角三角形FON中，利用勾股定理可得关于r的方程，解方程求出r的值即可．

解答 解：过点F作AD，BC的垂线GH，过O作MN∥BC交AB于M，GH于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵将△DCE沿DE对折，点C的对称点F恰好落在⊙O上，
∴∠DFE=90°，
∴∠GFD+∠HFE=90°，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠GDF=∠HFE，
∴△DGF∽△FHE，
∴$\frac{DG}{FH}$=$\frac{GF}{HE}$=$\frac{DF}{EF}$，
∵AB=20，BC=25，CE=10，
∴DG=HC=16，GF=12，FH=8，
设圆O的半径为r，
在直角三角形FON中，r²=（9-r）²+（8-r）²，
解得：r=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、切线的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度较大，对学生的解题能力要求很高．