Question

12．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE．
（1）求证：△BCF≌△ACD．
（2）猜想∠BEC的度数，并说明理由；
（3）探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠ACB=90°根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）取AB的中点M，连接CM，EM，根据圆周角定理即可得到结论；
（3）作CG⊥CE交BE于G，根据等腰直角三角形的性质得到CG=CE，根据全等三角形的性质得到BG=AE，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵BE⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠D，
在△BCF和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD；

（2）解：∠BEC=45°，
理由：取AB的中点M，连接CM，EM，则CM=EM=$\frac{1}{2}$AB=AM=BM，
∴点A，B，C，E在同一个圆（⊙M）上，
∴∠BEC=∠BAC=45°；
（3）BE=AE+$\sqrt{2}$CE，
证明：作CG⊥CE交BE于G，
∵∠BEC=45°，
则∠CGE=45°=∠BEC，CG=CE，
∴∠BGC=135°=∠AEC，EG=$\sqrt{2}$CE
在△BCG和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠BGC=∠AEC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△ACE，
∴BG=AE，
∴BE=BG+EG=AE+$\sqrt{2}$CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．