Question

14．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．
（1）依题意将图1补全；
（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；
想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；
想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…．
请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；
（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的要求作图即可；
（2）想法1，由已知得到△CDG是等边三角形，证得∠EDB=∠FDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；想法2，如图3，连接AD，作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，根据全等三角形的性质得到DE=DP，∠AED=∠APD，等量代换得到∠AFD=∠DPF，于是得到结论；想法3，如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线的性质得到DM=DN，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）当点F在AC边上时，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要证明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解决问题，当点F在AC延长线上时，证明方法类似．

解答 解：（1）如图1；
（2）想法1证明：如图2，过D作DG∥AB，交AC于G，
∵点D是BC边的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$AB，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠EDB+∠EDG=120°，
∵∠FDG+∠EDG=120°，
∴∠EDB=∠FDG，
∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，
∴△BDE≌△GDF，
∴DE=DF；
想法2证明：如图3，连接AD，
∵点D是BC边的中点，
∴AD是△ABC的对称轴，
作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，
∴△ADE≌△ADP，
∴DE=DP，∠AED=∠APD，
∵∠BAC+∠EDF=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∵∠APD+∠DPF=180°，
∴∠AFD=∠DPF，
∴DP=DF，
∴DE=DF；
想法3证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵点D是BC边的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∴DM=DN，
∵∠A=60°，
∴∠MDE+∠EDN=120°，
∵∠FDN+∠EDN=120°，
∴∠MDE=∠FDN，
∴Rt△MDE≌Rt△NDF，
∴DE=DF；
（3）当点F在AC边上时，BE+CF=$\frac{1}{2}$AB，
当点F在AC延长线上时，BE-CF=$\frac{1}{2}$AB，
证明：①当点F在AC边上时，如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
在△BDM与△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BD=CD}\\{∠BDM=∠CDN=30°}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB；

②当点F在AC延长线上时，如图3，
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB，
综上所述：当点F在AC边上时，BE+CF=$\frac{1}{2}$AB；
当点F在AC延长线上时，BE-CF=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．