Question

AB是⊙O的直径，AD与⊙O相交，点C是⊙O上一点，经过点C的直线交AD于点E．
（1）如图1，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，若CE是⊙O的切线，CE⊥AD于点E，AC是∠BAD的平分线吗？说明理由；
（3）如图3，若CE是⊙O的切线，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的长度．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）求出∠OAC=∠OCA，由AC平分∠BAD，推出∠OCA=∠CAD，得出OC∥AD，求出CE⊥0C，根据切线的判定推出即可；
（2）求出OC∥AD，得出∠OCA=∠CAD，然后求出∠OAC=∠OCA，进而得出∠OCA=∠CAD，即可求得AC是∠BAD的平分线；
（3）连接OC，BC，首先证明AD∥OC，即可证得∠AEC=90°，然后证明△EAC∽△CAB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OCA=∠CAD
∴OC∥AD
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
又OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：AC是∠BAD的平分线，
理由：如图2，连接OC
∵CE是⊙O的切线，
∴CE⊥OC，
∵CE⊥AD，
∴OC∥AD
∴∠OCA=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠CAD，
即AC是∠BAD的平分线；
（3）解：如图3，连接OC、BC
∵CE是⊙O的切线，
∴CE⊥OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠OCB
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠B=∠ACE，
∵AC平分∠BAD，
∴△ABC∽△ACE，
∴

AB

AC

=

AC

AE

，
即

8

6

=

6

AE

，
解得：AE=

9

2

．

点评：本题考查了垂径定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．