Question

9．如图，在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，CD⊥AB于点D，CD=BD，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=$\frac{1}{2}$BF；
（3）判断BG与CE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；
（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；
（3）由△ECG为等腰直角三角形，得到GC=$\sqrt{2}$CE，因为GC=GB，即可得到GB=$\sqrt{2}$CE．

解答 证明：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，CE=AE，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠DBF，
在△ADC和△FDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠DBF}\\{CD=BD}\\{∠ADC=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）∵△ADC≌△FDB，
∴AC=BF，
又∵CE=AE，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF；

（3）△ECG为等腰直角三角形．
∵点H是BC边的中点，
∴GH垂直平分BC，
∴GC=GB，
∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，
又∵BE⊥AC，
∴△ECG为等腰直角三角形；
∴GC=$\sqrt{2}$CE，
∵GC=GB，
∴GB=$\sqrt{2}$CE．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握三角形的判定，属于中考常考题型．