Question

20．如图，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△EFG是以A点为中心的等边三角形，P为△EFG边上的任意一点，连结CP，把CP绕点C顺时针旋转90°到CQ的位置．
（1）求证：AP=BQ；
（2）随着P点运动，其对应点Q也随着运动，请说出Q点运动所形成图形的具体形状、位置；
（3）当点P在边AB上，且CP=5时，直接写出P与Q两点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）只需证明△PCA≌△QCB即可；
（2）由于点Q是由点P绕点C顺时针旋转90°所得，因此点Q运动所形成的图形就是点P运动所形成的图形绕点C顺时针旋转90°后所得到的图形；
（3）只需在Rt△PCQ中运用勾股定理就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，

∵∠PCQ=∠ACB=90°，
∴∠PCA=∠QCB．
在△PCA和△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=CQ}\\{∠PCA=∠QCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△PCA≌△QCB，
∴AP=BQ；

（2）Q点运动所形成图形是与等边△EFG全等的等边△E′F′G′，
在△EFG绕点C顺时针旋转90°后的位置，如图2所示；


（3）当点P在边AB上，且CP=5时，如图3，

在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，CQ=CP=5，
根据勾股定理可得：PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴P与Q两点之间的距离为5$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了图形的旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题第（2）小题可进一步推广为：图形A上一动点绕某一定点O沿着顺时针（或逆时针）旋转α度后，所得到的图形就是图形A绕定点O沿着顺时针（或逆时针）旋转α度后的图形．