Question

20．已知四边形ABCD中，A点坐标为（0，2），D点坐标为（3，4），线段BC是x轴上的一条动线段，且B点坐标为（a，0），C点坐标为（a+1，0），则a为$\frac{2}{3}$时，四边形ABCD周长最小．

Answer 1

分析 作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（0，-2），把A′向右平移1个单位得到点D'（1，-2），连接DD′，与x轴交于点C，过A′作A′B∥D′D交x轴于B于是得到BA′=BA，推出四边形A′D′CB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BA′=D′C，等量代换得到AB=D′C，得到AB+CD=DD′，此时AB+CD最小，而AD与BC的长一定，此时四边形ABDC的周长最短．设直线DD′的解析式为y=kx+b，求得直线DD′的解析式为y=3x-5，令y=0，解得x=$\frac{5}{3}$，即可得到结论．

解答 解：作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（0，-2），把A′向右平移1个单位得到点D'（1，-2），连接DD′，与x轴交于点C，过A′作A′B∥D′D交x轴于B，如图，
∴BA′=BA，
∵A′B∥CD′，
∴四边形A′D′CB为平行四边形，
∴BA′=D′C，
∴AB=D′C，
∴AB+CD=DD′，此时AB+CD最小，
而AD与BC的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线DD′的解析式为y=kx+b，
把D（3，4）、D'（1，-2）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得k=3，b=-5，
∴直线DD′的解析式为y=3x-5，
令y=0，则3x-5=0，
解得x=$\frac{5}{3}$，
∴C点坐标为（$\frac{5}{3}$，0），
∵BC=1，
∴B（$\frac{2}{3}$，0），
∴a=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．