Question

20．点P是等边△ABC中边BC的垂线AD上一点，如果△PAB和△PAC都是等腰三角形，那么满足条件的点P个数是4个．

Answer 1

分析 分两种情况（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．

解答 解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
∵点P是等边△ABC中边BC的垂线AD上一点，
∴则具有这种性质的点P共有4个．
故答案为：4个．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质；要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键．