题目内容
14．
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA=2k，OB=2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k交y轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．
（2）当PM=BM时，求该抛物线的表达式．
（3）在点A在整个运动过程中．
①若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．
②当点A关于直线DP的对称点A′恰好落在抛物线y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k的图象上时，请直接写出k的值．
分析 （1）点D在y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k上，且在y轴上，即y=0求出点D坐标，根据抛物线顶点公式，求出即可；
（2）先用k表示出相关的点的坐标，根据PM=BM建立方程即可；
（3）①先用k表示出相关的点的坐标，根据△ADP是等腰三角形，分三种情况，AD=AP，DA=DP，PA=PD计算；
②由点P，D坐标求出直线PD解析式，根据PD⊥AA′，且A（0，2k），确定出AA′解析式，继而求出交点，再求出A′的坐标即可．
解答 解：（1）把x=0，代入$y=-\frac{3}{4}{x^2}+3x+k$，
∴y=k．
∴OD=k．
∵$\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=\frac{{4×（-\frac{3}{4}）×k-{3^2}}}{{4×（-\frac{3}{4}）}}=k+3$，
∴PM=k+3．
（2）∵$-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{{2×（-\frac{3}{4}）}}=2$，
∴OM=2，BM=OB-OM=2k+3-2=2k+1．
又∵PM=k+3，PM=BM，
∴k+3=2k+1，
解得k=2．
∴该抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{4}{x^2}+3x+2$．
（3）①
Ⅰ）当点P在矩形AOBC外部时
如图1，
过P作PK⊥OA于点K，当AD=AP时，
∵AD=AO-DO=2k-k=k，
∴AD=AP=k，KA=KO-AO=PM-AO=k+3-2k=3-k
KP=OM=2，在Rt△KAP中，KA2+KP2=AP2
∴（3-k）2+22=k2，解得$k=\frac{13}{6}$．
Ⅱ）当点P在矩形AOBC内部时
当PD=AP时，过P作PH⊥OA于H，
AD=k，HD=$\frac{k}{2}$，$HO=DO+HD=\frac{3k}{2}$
又∵HO=PM=k+3，
∴$\frac{3k}{2}=k+3$，
解得k=6．
当DP=DA时，过D作PQ⊥PM于Q，
PQ=PM-QM=PM-OD=k+3-k=3
DQ=OM=2，DP=DA=k，
在Rt△DQP中，$DP=\sqrt{D{Q^2}+Q{P^2}}=\sqrt{{2^2}+{3^2}}=\sqrt{13}$．
∴$k=DP=\sqrt{13}$．
即：$k=\frac{13}{6}$，k=6，k=$\sqrt{13}$．
②∵P（2，k+3），D（0，k）
∴直线PD解析式为y=$\frac{3}{2}$x+k，
∵A（0，2k），
∴直线AA′的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2k，
∴直线PD和直线AA′的交点为（$\frac{6}{13}$k，$\frac{22}{13}$k），
∴A′（$\frac{12}{13}$k，$\frac{18}{13}$k），
∵A′在抛物线y=-$\frac{3}{4}$x2+3x+k上，
∴-$\frac{3}{4}$×（$\frac{12}{13}$k）2+3×$\frac{12}{13}$k+k=$\frac{18}{13}$k，
∴k=$\frac{403}{108}$或k=0（舍）
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的确定，平面坐标系中求线段的长，等腰三角形的性质，确定出函数解析式是解本题的关键，解（3）是本题的难点．
如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为3.75．
一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞x+a的解集是x＜3．
抛物线C1：y=a（x+1）（x-3a）（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）．