Question

17．阅读下列材料，解决后面两个问题：
我们可以将任意三位数$\overline{abc}$（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a≠0），显然$\overline{abc}$=100a+10b+c；我们形如$\overline{xyz}$和$\overline{zyx}$的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”．
（1）写出任意两对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和；
（2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．

Answer 1

分析 （1）根据“姊妹数”的意义直接写出两对“姊妹数”，根据“姊妹数”的意义设出一个三位数，表示出它的“姊妹数”，求和，用2331建立方程求解，最后判断即可；
（2）表示出这对“姊妹数”，并且求和，写成37×6（x-1），判断6（x-1）是整数即可．

解答 解：（1）根据“姊妹数”满足的条件得，$\overline{234}$和$\overline{432}$是一对姊妹数，$\overline{345}$和$\overline{543}$是一对姊妹数；
假设是一对“姊妹数”的和，
设这对“姊妹数”中的一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x-1），百位数字为（x+1），（x为大于1小于9的整数），
∴这个三位数为100（x+1）+10x+x-1=111x+99，
∴另一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x+1），百位数字为（x-1），则这个三位数为100（x-1）+10x+x+1=111x-99，
∴这对“姊妹数”的和为（111x+99）+（111x-99）=222x=2331，
∴x=10$\frac{1}{2}$，不符合题意，
∴2331不是一对“姊妹数”的和；
（2）∵x表示一个三位数的百位数字，（x为大于2小于9的整数），
根据“姊妹数”的意义得，这个三位数的十位数字为（x-1），个位数字为（x-2），
∴这个三位数为：100x+10（x-1）+（x-2）=111x-12，
∴它的“姊妹数”为：100（x-2）+10（x-1）+x=111x-210，
∴这对“姊妹数”的和为：（111x-12）+（111x-210）=222x-222=222（x-1）=37×6（x-1），
∵x为大于2小于9的整数，
∴（x-1）是整数，
∴6（x-1）是整数，
∴37×6（x-1）能被37整除，
即：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．

点评 此题是因式分解的应用，主要考查了新定义，解一元一次方程，这出问题，解本题的关键是理解“姊妹数”的意义，并且会用它解决问题．