已知:在△ABC中.∠CAB=2α.且0°＜α＜30°.AP平分∠CAB．(1)如图1.若α=21°.∠ABC=32°.且AP交BC于点P.试探究线段AB.AC与PB之间的数量关系.并对你的结论加以证明,答:线段AB.AC与PB之间的数量关系为:AB-AC=PB．证明:(2)如图2.若∠ABC=60°-α.点P在△ABC的内部.且使∠CBP=30°.直接写出∠APC的度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知：在△ABC中，∠CAB=2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如图1，若α=21°，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；
答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：AB-AC=PB．
证明：
（2）如图2，若∠ABC=60°-α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，直接写出∠APC的度数（用含α的代数式表示），写出做题思路．
解：∠APC=120°+α．
做题思路：

分析（1）在AB上截取AD，使AD=AC．连PD，证明△ACP≌△ADP，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理证明PB=DB，证明结论；
（2）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM，证明△AMP≌△ABP，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理证明．

解答解：（1）AB-AC=PB，
证明：在AB上截取AD，使AD=AC．连PD，
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠BAP，
在△ACP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△ADP（SAS），
∴∠C=∠ADP．
∵△ABC中，∠CAB=42°，∠ABC=32°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°．
∴∠ADP=106°．
∴∠BDP=180°-∠ADP=180°-106°=74°，
∠BPD=∠ADP-∠ABC=106°-32°=74°．
∴∠BDP=∠BPD．
∴PB=DB，
∴AB-AC=AB-AD=DB=PB；
（2）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM，
∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，
∴∠CAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$×2α=α．
在△AMP和△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AB}\\{∠MAP=∠BAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△ABP（SAS）
∴PM=PB，∠ABP=∠AMP．
∵∠ABC=60°-α，∠CBP=30°，
∴∠ABP=（60°-α）-30°=30°-α．
∴∠AMP=∠ABP=30°-α．
△AMB中，AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=（180°-∠MAB）÷2=（180°-2）÷2=90°-α．
∴∠PMB=∠AMB-∠AMP=（90°-α）-（30°-α）=60°．
∴△PMB为等边三角形．
∵∠CBM=∠ABM-∠ABC=（90°-α）-（60°-α）=30°，
∴∠CBM=∠CBP．
∴BC平分∠PBM．
∴BC垂直平分PM．
∴CP=CM．
∴∠CPM=∠CMP=30°-α．
∴∠ACP=∠CPM+∠CMP=（30°-α）+（30°-α）=60°-2α．
∴△ACP中，∠APC=180°-∠PAM-∠ACP
=180°-α-（60°-2α）
=120°+α．
故答案为：（1）AB-AC=PB；（2）120°+α．