Question

8．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，∠DAF=40°，∠EAF=60°
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠CFE度数．

Answer 1

分析 （1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，证出∠BAE=∠CAF，由ASA证明△ABE≌△ACF，得出对应边相等即可；
（2）证明△AEF是等边三角形，得出∠AFE=60°，由三角形的外角性质求出∠AFC=∠D+∠DAF=100°，即可求出∠CFE的度数．

解答 （1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠D=∠B=60°，
∴∠BCD=∠BAD=120°，∠BAC=∠ACF=60°，△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即：∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠ACF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF；
（2）解：∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
又∵∠AFC=∠D+∠DAF=100°，
∴∠CFE=100°-60°=40°．

点评 此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．