Question

16．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD、AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接CO，由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠BCA为直角，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，进而确定出∠OCF为直角，即可得证；
（2）由直径AB平分CD，得到AB与CD垂直，再由一对公共角，得到三角形ACE与三角形CAB相似，由相似得比例，求出BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可确定出圆的半径．

解答 （1）证明：连接CO，
∵AB为圆O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，即∠OCF=90°，
则CF为圆O的切线；
（2）解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥CD，
∵∠EAC=∠CAB，
∴△ACE∽△ABC，
∵AC=4，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=8，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
则圆O的半径为2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．