Question

9．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD为△ABC的外角平分线，交BC的延长线于点D，且∠B=2∠D．求证：AB+AC=CD．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB，垂足为点E，由“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可知DE=DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED，由此可得AC=AE，在证明BE=DE即可．

解答 证明：过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
又∵∠ACB=90°（已知），
∴DE=DC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
在Rt△ACD和Rt△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}&{（已证）}\\{AD=AD}&{（公共边）}\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（H．L）．
∴AC=AE，∠CDA=∠EDA．
∵∠B=2∠D（已知），
∴∠B=∠BDE．
∴BE=DE．
又∵AB+AE=BE，
∴AB+AC=CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线使得AB与AC在同一条直线上才好证 AB+AC=CD．