Question

18．近几年来，石家庄市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处，现二环路办事处又计划将十字路口附近的小块土地进行绿化改造，他们依地势整理出一块矩形区域ABCD，铺成人们可以活动的砖石地面，又分别以AB、BC、CD、DA为斜边向外做等腰直角三角形（如图所示），通过测量，发现四边形MNGH的周长正好是200米，设AB=x米，BC=y米．
（1）四边形MNGH的形状为正方形．
（2）直接写出y与x之间的函数关系式y=-x+50$\sqrt{2}$．
（3）如果铺设砖石地面，平均建设费用为每平方米50元，其它区域种花草，平均建设费用为每平方米100元，请求出总建设费用p（元）与x（米）之间的函数关系式．
（4）政府最少投入多少钱才能完成此项工程？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的判定定理证明四边形MNGH为矩形，根据等腰直角三角形的性质证明MH=MN，得到四边形MNGH为正方形；
（2）根据AB=x米，BC=y米和等腰三角形的性质求出MA和AH，根据四边形MNGH的周长是200米，求出边长，列式求出y与x之间的函数关系式；
（3）用x、y表示出总建设费用p，把y=-x+50$\sqrt{2}$代入整理，得到p（元）与x（米）之间的函数关系式；
（4）根据二次函数的性质求出函数的最小值，得到答案．

解答 解：（1）∵以AB、BC、CD、DA为斜边向外做等腰直角三角形，
∴四边形MNGH为矩形，
∵AB=CD，△AHB和△CND为等腰直角三角形，
∴AH=DN，又MA=MD，
∴MH=MN，
∴四边形MNGH为正方形；
（2）∵AB=x，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵BC=y，
∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=200÷4，
整理得y=-x+50$\sqrt{2}$；
（3）P=50xy+（50²-xy）×100
=-50xy+250000
=-50（-x+50$\sqrt{2}$）+250000
=50x²-2500$\sqrt{2}$x+250000．
（4）当x=$\frac{-2500\sqrt{2}}{2×50}$时，P有最小值，
P_最小值=$\frac{4×50×250000-（-2500\sqrt{2}）^{2}}{4×50}$=187500．
则最少投入187500元，才能完成此项工程．
故答案为：正方形；y=-x+50$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质和二次函数的性质，正确运用数形结合思想列出函数关系式是解题的关键，注意二次函数的性质的运用．