Question

16．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且∠DBE=∠DCF．问：
（1）BE=FC吗？请说明理由；
（2）若△ADC的面积为7cm²，△DFC的面积为2cm²，则△ABD的面积为3cm²．（直接写出答案即可，不要计算过程）

Answer 1

分析 （1）EB=FC，利用AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，得到DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，证明△BED≌△CFD，即可解答．
（2）先证明△AED≌△AFD，得到△AED与△AFD面积相等，根据△ADF的面积=△ADC的面积-△DFC的面积=5cm²，得到△AED的面积为5cm²，又由△BED≌△CFD，得到△BED和△CFD的面积相等，根据△ABD的面积=△AED的面积-△BED的面积，即可解答．

解答 解：（1）EB=FC，理由如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠DFC}\\{∠DBE=∠DCF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD，
∴EB=FC．
（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△AED≌△AFD，
∴△AED与△AFD面积相等．
∵△ADC的面积为7cm²，△DFC的面积为2cm²，
∴△ADF的面积=△ADC的面积-△DFC的面积=5cm²，
∴△AED的面积为5cm²，
∵△BED≌△CFD，
∴△BED和△CFD的面积相等，
∴△BED的面积为2cm²，
∴△ABD的面积=△AED的面积-△BED的面积=5-2=3（cm²），
故答案为：3cm²．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．